1991 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设总体

X

的概率密度为

p (x; λ) = {λa x^{a - 1} e^{- λ x^{a}}, 0, x > 0 x \leq 0

，其中

λ > 0

是未知参数，

a > 0

是已知常数。试根据来自总体

X

的简单随机样本

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

，求

λ

的最大似然估计量

λ^

。

答案

$λ^= \frac{n}{i = 1 \sum n x _{i}^{a}}$

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当所有样本值均为正时，似然函数为

L (λ) = λ^{n} a^{n} (\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{a - 1}) exp (- λ i = 1 \sum n x_{i}^{a}), λ > 0.

去掉与 $λ$ 无关的项，对数似然为 $ℓ (λ) = n ln λ - λ i = 1 \sum n x_{i}^{a} + 常数$ 。

令 $ℓ^{'} (λ) = \frac{n}{λ} - \sum x_{i}^{a} = 0$ ，得 $λ^= \frac{n}{\sum x _{i}^{a}}$ 。又 $ℓ^{''} (λ) = - \frac{n}{λ ^{2}} < 0$ ，且该估计值为正，所以它是唯一的最大似然估计。