分母提出 $n^2$，将和式改写为

$$n\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+n^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+(\frac{k}{n}{)}^2}.$$

令 $f(x)=\frac{1}{(1+x^2)}$，它在 $[0,1]$ 连续。把区间等分为 $n$ 段，每段宽度 $\frac{1}{n}$，取右端点 $\frac{k}{n}$，上式正是对应的黎曼和。因此

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+n^2}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=[\arctan x{]}_0^1=\frac{\pi }{4}.$$