（1）展开目标函数。记 $J(a,b)={\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a\cos x-b\sin x{)}^2\mathrm{d}x$。由奇函数在对称区间上的积分为零，有 ${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos x\sin x\mathrm{d}x=0$、${\int }_{-\pi }^{\pi }x\cos x\mathrm{d}x=0$；又有 ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}x\mathrm{d}x={\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\pi$、${\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^2\mathrm{d}x=\frac{2{\pi }^3}{3}$。剩下的交叉项利用偶性和分部积分求得：

将平方展开并逐项代入上述积分，得

（2）确定最小值点。两个平方项的系数均为正，故 $J(a,b)\ge \frac{2{\pi }^3}{3}-4\pi$，等号当且仅当 $a=0,b=2$ 时成立。因此 $a_1=0$、$b_1=2$，所求为 $2\sin x$，选 A。

也可用最佳平方逼近的傅里叶系数公式：$a_1=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\cos x\mathrm{d}x=0$，$b_1=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin x\mathrm{d}x=2$。公式中的归一化因子 $\frac{1}{\pi }$ 不能遗漏；直接取积分 $2\pi$ 作为系数会误选 C。