2010 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

在正交变换

x = Q y

下的标准形为

y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

，且

Q

的第

3

列为

(\frac{2}{2}, 0, \frac{2}{2})^{T}

。

(1) 求矩阵 $A$ ；
(2) 证明 $A + E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵。

答案

第 1 问

$A = \frac{1}{2} 10 - 1 020 - 1 01$ 。

第 2 问

$A + E$ 为正定矩阵。

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第 1 问

将标准形补为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + 0 y_{3}^{2}$ ，得 $Q^{T} A Q = diag (1, 1, 0)$ 。设 $Q$ 的三列为 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ ，则 $A q_{1} = q_{1}, A q_{2} = q_{2}, A q_{3} = 0$ ，且三个向量构成标准正交基。由 $A = Q diag (1, 1, 0) Q^{T}$ ，得

A = q_{1} q_{1}^{T} + q_{2} q_{2}^{T} = E - q_{3} q_{3}^{T} = E - \frac{1}{2} 101000101 = \frac{1}{2} 10 - 1 020 - 1 01 .

这里使用了 $q_{3} = \frac{( 1 , 0 , 1 ) ^{T}}{2}$ 及 $Q Q^{T} = E$ 。也可在 $q_{3}$ 的正交补 $x_{1} + x_{3} = 0$ 中选 $q_{1} = (0, 1, 0)^{T}, q_{2} = \frac{( 1 , 0 , - 1 ) ^{T}}{2}$ ，直接计算得到同一矩阵。

第 2 问

$A$ 为实对称矩阵，所以 $A + E$ 仍实对称。 $A$ 的特征值为 $1, 1, 0$ ，故 $A + E$ 的特征值为 $2, 2, 1$ ，全部为正。因此 $A + E$ 正定。

对任意 $x \neq = 0$ ，标准形给出 $x^{T} A x = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} \geq 0$ ，且 $x^{T} x > 0$ 。所以

x^{T} (A + E) x = x^{T} A x + x^{T} x > 0.

结合 $A + E$ 实对称，由定义得其正定。