齐次方程的特征方程为 $(r-1)(r-2)=0$，故 $y_h=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{2x}$。

令 $y={\mathrm{e}}^{x}v$，代入原方程后得到 $v^{\prime \prime }-v^{\prime }=x$。令 $w=v^{\prime }$，取特解 $w_p=-x-1$，于是可取 $v_p=-\frac{x^2}{2}-x$。

因此一个特解为 $y_p=-(\frac{x^2}{2}+x){\mathrm{e}}^x$，通解为