平面 $x+y+z=0$ 过球心，故交线 $L$ 是半径为 $1$ 的大圆，弧长 ${\oint }_L\mathrm{d}s=2\pi$。循环置换 $x,y,z$ 保持曲线及弧长元不变，因此

在 $L$ 上，$0=(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$，又 $x^2+y^2+z^2=1$，故 $xy+yz+zx=-\frac{1}{2}$。沿曲线积分，得 $3J=-\frac{1}{2}{\oint }_L\mathrm{d}s=-\pi$，所以 $J=-\frac{\pi }{3}$。

先计算平方项。交线是半径 $1$ 的大圆，周长为 $2\pi$。由轮换对称性，三个平方项的弧长积分相等，其和为 ${\oint }_L(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s=2\pi$，故每项为 $\frac{2\pi }{3}$。
又因 $x+y=-z$，有 $xy=\frac{(z^2-x^2-y^2)}{2}$，所以