将 $t={\sigma }^2>0$ 作为待估参数，记观测值的离差平方和 $Q=\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_0{)}^2$。由样本独立性，似然函数及其对数为

求导，得 ${\ell }^{\prime }(t)=-\frac{n}{(2t)}+\frac{Q}{(2t^2)}=\frac{(Q-nt)}{(2t^2)}$。当 $Q>0$ 时，它在 $0<t<\frac{Q}{n}$ 上为正、$t>\frac{Q}{n}$ 上为负，故唯一全局最大点为 $t=\frac{Q}{n}$。因此

若所有 $x_i={\mu }_0$，即 $Q=0$，似然随 $t\downarrow 0$ 无界，参数空间内没有最大点。这是概率为零的样本事件；以上公式作为估计量可在该事件上沿用零值，但不声称零是正参数空间中的极大值点。已知均值必须使用 ${\mu }_0$，不能替换成样本均值。

由于 $\frac{(X_i-{\mu }_0)}{\sigma }$ 是相互独立的标准正态变量，

使用 $E(W)=n$、$\mathrm{Var}(W)=2n$，得

用的是真均值 ${\mu }_0$，所以卡方自由度为 $n$，不是 $n-1$。

令 $Y_i=(X_i-{\mu }_0{)}^2$，则这些变量独立同分布。由标准正态变量 $Z$ 的二、四阶矩 $E(Z^2)=1,E(Z^4)=3$，得到

故 $\widehat{{\sigma }^2}=n^{-1}\sum _i{Y}_i$ 的期望为 ${\sigma }^2$，方差为 $n^{-2}\cdot n\cdot 2{\sigma }^4=\frac{2{\sigma }^4}{n}$。