1992 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X

与

Y

独立，

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，

Y

服从

[- π, π]

上的均匀分布。求

Z = X + Y

的概率密度（计算结果用标准正态分布函数

Φ (x)

表示，其中

Φ (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t

）。

答案

$f_{Z} (z) = \frac{1}{2 π} [Φ (\frac{z + π - μ}{σ}) - Φ (\frac{z - π - μ}{σ})], - \infty < z < + \infty$

查看解析展开

由独立性，

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (z - y) f_{Y} (y) d y = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{1}{σ 2 π} exp [- \frac{( z - y - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}] d y .

令 $t = \frac{( z - y - μ )}{σ}$ 。当 $y = - π$ 时 $t = \frac{( z + π - μ )}{σ}$ ，当 $y = π$ 时 $t = \frac{( z - π - μ )}{σ}$ ，且积分方向反转。

因此对所有实数 $z$ ，

f_{Z} (z) = \frac{1}{2 π} [Φ (\frac{z + π - μ}{σ}) - Φ (\frac{z - π - μ}{σ})] .

这里正态分布参数满足 $σ > 0$ 。