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计算
∬
Σ
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
2
1
a
x
d
y
d
z
+
(
z
+
a
)
2
d
x
d
y
，其中
Σ
为下半球面
z
=
−
a
2
−
x
2
−
y
2
的上侧，
a
为大于零的常数。
答案
−
2
π
a
3
解析
球面上
x
2
+
y
2
+
z
2
=
a
。令
z
=
−
a
2
−
x
2
−
y
2
，取上侧时
(
d
y
d
z
,
d
z
d
x
,
d
x
d
y
)
=
(
−
z
x
,
−
z
y
,
1
)
d
x
d
y
.
故原积分化为
I
=
∬
x
2
+
y
2
≤
a
2
(
z
x
2
+
a
(
z
+
a
)
2
)
d
x
d
y
.
用极坐标并记
z
=
−
a
2
−
r
2
，第一项为
−
π
∫
0
a
a
2
−
r
2
r
3
d
r
=
−
3
2
π
a
3
.
第二项为
a
2
π
∫
0
a
(
a
−
a
2
−
r
2
)
2
r
d
r
=
6
π
a
3
.
相加得到
I
=
−
2
π
a
3
。