记 $x=(x_1,x_2,x_3{)}^T$。由于 ${\alpha }^{T}x$ 为标量，它等于其转置 $x^T\alpha$，因此

同理 $({\beta }^{T}x{)}^2=x^T\beta {\beta }^{T}x$，所以 $f=x^T(2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T)x$。又 $\alpha {\alpha }^T$ 与 $\beta {\beta }^T$ 均为对称矩阵，因此 $2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T$ 对称，正是二次型所对应的矩阵。

记 $M=2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T$。由单位正交条件 ${\alpha }^T\alpha ={\beta }^T\beta =1,{\alpha }^T\beta =0$，得

$\alpha ,\beta$ 线性无关，其正交补在 ${\mathbb{R}}^3$ 中是一维空间，可取其中的单位向量 $\gamma$。于是 ${\alpha }^T\gamma ={\beta }^T\gamma =0$，从而 $M\gamma =0$。
因此 $Q=(\alpha ,\beta ,\gamma )$ 的三列为标准正交基，$Q$ 正交，并且 $MQ=Q\mathrm{diag}(2,1,0)$。于是 $Q^{T}MQ=\mathrm{diag}(2,1,0)$，在正交变换 $x=Qy$ 下有 $f=y^T{Q}^{T}MQy=2y_1^2+y_2^2$，得证。