1992 · 数学三 · 第 3 题 · 填空题

交换积分次序：

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{2 - y^{2}} f (x, y) d x =

。

答案

$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x^{2}} f (x, y) d y + \int_{1}^{2} d x \int_{0}^{2 - x^{2}} f (x, y) d y$

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原积分区域满足 $0 \leq y \leq 1$ 、 $y \leq x^{2}$ 以及 $x^{2} + y^{2} \leq 2$ ，且位于第一象限。

当 $0 \leq x \leq 1$ 时，上边界为 $y = x^{2}$ ；当 $1 \leq x \leq 2$ 时，上边界为 $y = 2 - x^{2}$ 。故交换次序后为

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x^{2}} f (x, y) d y + \int_{1}^{2} d x \int_{0}^{2 - x^{2}} f (x, y) d y .