取对数后考察指数：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sin x}\ln (1+3x)=6\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}\cdot \frac{\ln (1+3x)}{3x}=6.$$

因此原极限为 ${\mathrm{e}}^6$。