2003 · 数学一 · 第 11 题 · 选择题

设有齐次线性方程组

A x = 0

和

B x = 0

，其中

A

和

B

均为

m \times n

矩阵，现有四个命题：①若

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解，则

r (A) \geq r (B)

；②若

r (A) \geq r (B)

，则

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解；③若

A x = 0

与

B x = 0

同解，则

r (A) = r (B)

；④若

r (A) = r (B)

，则

A x = 0

与

B x = 0

同解。以上命题中正确的是（　　）。

答案

若 $A x = 0$ 的解都是 $B x = 0$ 的解，则 $N (A) \subseteq N (B)$ ，从而 $n - r (A) \leq n - r (B)$ ，即 $r (A) \geq r (B)$ ，所以 ①正确。

两齐次方程组同解时零空间相同，故零度相同，从而 $r (A) = r (B)$ ，所以 ③正确。

仅有秩不等式或秩相等不能推出零空间的包含或相等，②、④均不必然成立。因此选 B。