1988 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只；若是废品，则扔掉并重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。

答案

$P (X = 0) = \frac{4}{5}, P (X = 1) = \frac{8}{45}, P (X = 2) = \frac{1}{45}$

$E (X) = \frac{2}{9}$

$Var (X) = \frac{88}{405}$

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设 $X$ 为取到第一只正品前已取出的废品数。废品取出后被扔掉，因此抽取是不放回的，且 $X \in {0, 1, 2}$ 。

直接计算各事件的概率：

P (X = 0) P (X = 1) P (X = 2) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, = \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{45}, = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{45} .

三者之和为 $1$ ，故这就是 $X$ 的分布。

由第（1）问的分布，

E (X) = 0 \cdot \frac{4}{5} + 1 \cdot \frac{8}{45} + 2 \cdot \frac{1}{45} = \frac{2}{9} .

先求二阶矩：

E (X^{2}) = 0^{2} \cdot \frac{4}{5} + 1^{2} \cdot \frac{8}{45} + 2^{2} \cdot \frac{1}{45} = \frac{4}{15} .

因此

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{4}{15} - (\frac{2}{9})^{2} = \frac{88}{405} .