1997 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续，在开区间

(0, 1)

内大于零，并满足

x f^{'} (x) = f (x) + \frac{3 a}{2} x^{2}

（

a

为常数）。又曲线

y = f (x)

与

x = 1, y = 0

所围成的图形

S

的面积值为

2

。完成下列各问：

答案

$f (x) = (4 - a) x + \frac{3 a}{2} x^{2}, - 8 \leq a \leq 4$

$a = - 5$

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由所给方程，

(\frac{f ( x )}{x})^{'} = \frac{x f ^{'} ( x ) - f ( x )}{x ^{2}} = \frac{3 a}{2} .

因而在 $(0, 1)$ 上 $f (x) = C x + \frac{3 a}{2} x^{2}$ ，连续性同时给出 $f (0) = 0$ 。

由于 $f (x) > 0$ ，图形面积为

2 = \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{C}{2} + \frac{a}{2},

所以 $C = 4 - a$ ，即 $f (x) = (4 - a) x + \frac{3 a}{2} x^{2}$ 。

条件 $f (x) > 0 (0 < x < 1)$ 等价于 $4 - a + \frac{3 a}{2} x > 0 (0 < x < 1)$ 。考察这个一次函数在区间两端的极限，得到允许范围 $- 8 \leq a \leq 4$ ；两个端点值也分别在开区间内保持严格为正。

沿用第一问求得的 $f$ 及参数范围 $- 8 \leq a \leq 4$ 。绕 $x$ 轴旋转所得体积为

V (a) = π \int_{0}^{1} [(4 - a) x + \frac{3 a}{2} x^{2}]^{2} d x .

计算并配方得

V (a) = π (\frac{a ^{2}}{30} + \frac{a}{3} + \frac{16}{3}) = \frac{π}{30} [(a + 5)^{2} + 135] .

无约束极小点 $a = - 5$ 落在允许区间 $[- 8, 4]$ 内，故此时体积最小（最小体积为 $\frac{9 π}{2}$ ）。