2021 · 数学二 · 第 1 题 · 选择题

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t

是

x^{7}

的（　　）。

答案

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记 $F (x) = \int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t$ 。当 $x \to 0$ 时，上限 $x^{2} \to 0^{+}$ 。由 $e^{t^{3}} - 1 \sim t^{3}$ ，以及

u \to 0^{+} lim \frac{\int _{0}^{u} ( e ^{t^{3}} - 1 ) d t}{u ^{4}} = u \to 0^{+} lim \frac{e ^{u^{3}} - 1}{4 u ^{3}} = \frac{1}{4},

可知 $F (x) \sim \frac{( x ^{2} ) ^{4}}{4} = \frac{x ^{8}}{4}$ 。故

x \to 0 lim \frac{F ( x )}{x ^{7}} = x \to 0 lim \frac{F ( x )}{x ^{8}} x = 0.

因此 $F (x) = o (x^{7})$ ，即所给积分是 $x^{7}$ 的高阶无穷小，选C。左右两侧的比值都趋于零， $x^{7}$ 变号不影响该结论。

直接对 $\frac{F ( x )}{x ^{7}}$ 这个 $\frac{0}{0}$ 型使用洛必达法则。由变限积分求导和链式法则， $F^{'} (x) = 2 x (e^{x^{6}} - 1)$ ，所以

x \to 0 lim \frac{F ( x )}{x ^{7}} = x \to 0 lim \frac{2 x ( e ^{x^{6}} - 1 )}{7 x ^{6}} = \frac{2}{7} x \to 0 lim x \frac{e ^{x^{6}} - 1}{x ^{6}} = 0.

于是该积分是 $x^{7}$ 的高阶无穷小，选C。求导时不能漏掉积分上限 $x^{2}$ 的导数 $2 x$ 。