（1）由参数方程，$x^{\prime }(t)=t^2+1>0$，$y^{\prime }(t)=t^2-1$。又当 $t\to \pm \infty$ 时 $x(t)\to \pm \infty$，故 $x(t)$ 将实轴一一映到实轴，可将 $t$ 看成 $x$ 的函数，且 $t$ 与 $x$ 同向增大。
参数方程的一阶导数为

因此在 $t<-1$ 时导数为正，在 $-1<t<1$ 时为负，在 $t>1$ 时为正。$t=-1$ 对应 $(x,y)=(-1,1)$，故 $x=-1$ 处取得极大值 $1$；$t=1$ 对应 $(x,y)=(\frac{5}{3},-\frac{1}{3})$，故 $x=\frac{5}{3}$ 处取得极小值 $-\frac{1}{3}$。
（2）二阶导数要先对 $t$ 求导，再除以 $x^{\prime }(t)$：

当 $t<0$ 时二阶导数为负，当 $t>0$ 时为正。$t=0$ 对应 $(x,y)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$；因 $x(t)$ 严格递增，$t<0$ 对应 $x<\frac{1}{3}$，$t>0$ 对应 $x>\frac{1}{3}$。
按二阶导数为正称凹、为负称凸的约定，凸区间为 $(-\infty ,\frac{1}{3})$，凹区间为 $(\frac{1}{3},+\infty )$。二阶导数在分界点两侧变号，故拐点为 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$。