1997 · 数学三 · 第 10 题 · 选择题

设

X

是一随机变量，

E (X) = μ, D (X) = σ^{2}

（

μ, σ > 0

是常数），则对任意常数

c

，必有（　　）。

答案

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写成 $X - c = (X - μ) + (μ - c)$ 。由于 $E (X - μ) = 0$ ，

E [(X - c)^{2}] = E [(X - μ)^{2}] + (μ - c)^{2} = σ^{2} + (μ - c)^{2} .

所以对任意 $c$ ，都有 $E [(X - c)^{2}] \geq E [(X - μ)^{2}]$ ，选 D；等号恰在 $c = μ$ 时成立。