2010 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设总体

X

的概率分布见下表，其中参数

θ \in (0, 1)

未知。以

N_{i}

表示来自总体

X

的容量为

n

的简单随机样本中等于

i

的个数（

i = 1, 2, 3

）。

$X$	$1$	$2$	$3$
$P$	$1 - θ$	$θ - θ^{2}$	$θ^{2}$

(1) 求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ，使 $T = i = 1 \sum 3 a_{i} N_{i}$ 为 $θ$ 的无偏估计量；
(2) 求 $T$ 的方差。

答案

第 1 问

$a_{1} = 0$ ， $a_{2} = a_{3} = \frac{1}{n}$ 。

第 2 问

$D (T) = \frac{θ ( 1 - θ )}{n}$ 。

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第 1 问

记 $p_{1} = 1 - θ$ ， $p_{2} = θ - θ^{2}$ ， $p_{3} = θ^{2}$ 。每个计数 $N_{i} \sim B (n, p_{i})$ ，故 $E (N_{i}) = n p_{i}$ 。于是

E (T) = n [a_{1} (1 - θ) + a_{2} (θ - θ^{2}) + a_{3} θ^{2}] = n [a_{1} + (a_{2} - a_{1}) θ + (a_{3} - a_{2}) θ^{2}] .

无偏性要求对每个 $θ \in (0, 1)$ 都有 $E (T) = θ$ 。比较多项式的常数项、一次项和二次项，得 $n a_{1} = 0$ ， $n (a_{2} - a_{1}) = 1$ ， $n (a_{3} - a_{2}) = 0$ ，所以 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = a_{3} = \frac{1}{n}$ ，此时 $T = \frac{( N _{2} + N _{3} )}{n}$ 。

第 2 问

由 $N_{1} + N_{2} + N_{3} = n$ ，有 $T = 1 - \frac{N _{1}}{n}$ ，而 $N_{1} \sim B (n, 1 - θ)$ ，因此 $D (T) = \frac{D ( N _{1} )}{n ^{2}} = \frac{θ ( 1 - θ )}{n}$ 。
等价地， $N_{2} + N_{3}$ 是样本中取值至少为 $2$ 的次数，成功概率为 $p_{2} + p_{3} = θ$ ，故直接服从 $B (n, θ)$ 。

不能把 $N_{2}, N_{3}$ 当成独立变量。多项计数满足 $Cov (N_{2}, N_{3}) = - n p_{2} p_{3}$ ，故

D (T) = \frac{D ( N _{2} ) + D ( N _{3} ) + 2 Cov ( N _{2} , N _{3} )}{n ^{2}} = \frac{p _{2} ( 1 - p _{2} ) + p _{3} ( 1 - p _{3} ) - 2 p _{2} p _{3}}{n} = \frac{( p _{2} + p _{3} ) - ( p _{2} + p _{3} ) ^{2}}{n} = \frac{θ ( 1 - θ )}{n} .