1989 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

先把定积分中的积分变量改记为 $t$ 。在 $[0, π]$ 上 $sin t \geq 0$ ，故

\int_{0}^{π} 1 - cos 2 t d t = 2 \int_{0}^{π} sin t d t = 22 .

原方程等价于 $F (x) = 0$ ，其中

F (x) = ln x - \frac{x}{e} + 22, x > 0.

有

F^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e},

所以 $F$ 在 $(0, e)$ 上严格递增，在 $(e, + \infty)$ 上严格递减。

又有

x \to 0^{+} lim F (x) = - \infty, F (e) = 22 > 0, x \to + \infty lim F (x) = - \infty.

由连续性， $(0, e)$ 与 $(e, + \infty)$ 内各至少有一个零点；由各区间上的严格单调性，各自至多有一个零点。因此原方程在 $(0, + \infty)$ 内有且仅有两个不同实根。

答案