两二次型的矩阵分别为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& a\\ a& 1& a\\ a& a& 1\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$。由可逆变换 $x=Py$，有 $B=P^{T}AP$，所以二者合同，正、负惯性指数分别相同。
$g=(y_1+y_2{)}^2+4y_3^2$，两个线性形独立，故正惯性指数为 $2$、负惯性指数为 $0$、秩为 $2$。而 $A=(1-a)E+aJ$，$J$ 为全 $1$ 矩阵，其特征值为 $3,0,0$，所以 $A$ 的特征值为 $1+2a,1-a,1-a$。
要求恰有两个正特征值和一个零特征值。若 $1-a=0$，则 $a=1$，特征值为 $3,0,0$，秩只有 $1$，不合；若 $1+2a=0$，则 $a=-\frac{1}{2}$，特征值为 $0,\frac{3}{2},\frac{3}{2}$，恰好满足。因此 $a=-\frac{1}{2}$。

代入 $a=-\frac{1}{2}$，配方得

令 $z_1=x_1-\frac{(x_2+x_3)}{2},z_2=\frac{\sqrt{3}(x_2-x_3)}{2},z_3=x_3$，即

$|C|=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$，且 $f=z_1^2+z_2^2$。另一方面，令 $w_1=y_1+y_2,w_2=2y_3,w_3=y_2$，则 $w=Dy$，其中 $D=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$，$|D|=-2\ne 0$，且 $g=w_1^2+w_2^2$。
令 $z=w$，便得到 $Cx=Dy$，即 $x=C^{-1}Dy$。反解 $z=Cx$，有 $x_3=z_3,x_2=\frac{2z_2}{\sqrt{3}}+z_3,x_1=z_1+\frac{z_2}{\sqrt{3}}+z_3$，故

$|P|=-\frac{4}{\sqrt{3}}\ne 0$，故可逆。此时 $x_1-\frac{(x_2+x_3)}{2}=y_1+y_2$、$\frac{\sqrt{3}(x_2-x_3)}{2}=2y_3$，代回配方即得 $f(Py)=(y_1+y_2{)}^2+4y_3^2=g(y)$，符合要求。