令 $\mathbf{F}=(2x^3,2y^3,3(z^2-1))$。所求积分是 $\mathbf{F}$ 穿过抛物面上侧的通量。用底面 $D:z=0,x^2+y^2\le 1$ 封闭区域，底面的外法向量向下。

散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F}=6x^2+6y^2+6z$。在 $V:0\le z\le 1-r^2,0\le r\le 1$ 上，

在底面 $z=0$ 上，$\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=3$，故底面通量为 $3\pi$。由高斯公式，所求 $I+3\pi =2\pi$，所以 $I=-\pi$。