2004 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

设级数

\frac{x ^{4}}{2 \cdot 4} + \frac{x ^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6} + \frac{x ^{8}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} + \dots (- \infty < x < + \infty)

的和函数为

S (x)

。求：

答案

$S^{'} (x) - x S (x) = \frac{x ^{3}}{2}, S (0) = 0$

$S (x) = e^{\frac{x ^{2}}{2}} - 1 - \frac{x ^{2}}{2}, x \in R$

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将级数写为

S (x) = m = 2 \sum \infty \frac{x ^{2 m}}{2 \cdot 4 \dots 2 m} = m = 2 \sum \infty \frac{( \frac{x ^{2}}{2} ) ^{m}}{m !} .

逐项求导得 $S^{'} (x) = x m = 1 \sum \infty \frac{( \frac{x ^{2}}{2} ) ^{m}}{m !} = x (S (x) + \frac{x ^{2}}{2})$ 。

所以 $S (x)$ 满足一阶微分方程 $S^{'} (x) - x S (x) = \frac{x ^{3}}{2}$ ，并且 $S (0) = 0$ 。

由指数函数展开， $S (x) = m = 2 \sum \infty \frac{( \frac{x ^{2}}{2} ) ^{m}}{m !} = e^{\frac{x ^{2}}{2}} - 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ 。该表达式对所有实数 $x$ 都收敛。