特征值$-2$（代数重数 2）和$0$（代数重数 1）。

$k>2$

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则由 $A^2+2A=0$ 得 ${\lambda }^2+2\lambda =\lambda (\lambda +2)=0$，所以特征值只能是 $0$ 或 $-2$。

$A$ 为实对称矩阵，因而可正交对角化；$r(A)=2$ 表明非零特征值有两个，而唯一可能的非零值为 $-2$。故 $-2$ 的代数重数为 2，$0$ 的代数重数为 1。

由第一问的特征值，矩阵 $A+kE$ 仍为实对称矩阵，其特征值是在 $A$ 的特征值上加 $k$，即 $k-2$（二重）和 $k$（一重）。

正定要求全部特征值严格为正，因此需同时满足 $k-2>0$ 与 $k>0$，合并得 $k>2$。