令 $u=y+\frac{x^3}{3}$，则 $f=u{\mathrm{e}}^{x+y}$，$u_x=x^2$、$u_y=1$。由乘积法则，$f_x=(x^2+u){\mathrm{e}}^{x+y}$、$f_y=(1+u){\mathrm{e}}^{x+y}$。指数因子恒正，故驻点满足 $x^2+u=0$、$1+u=0$。
两式相减得 $x^2=1$，再由 $u=-1$ 得 $y=-1-\frac{x^3}{3}$。因此驻点仅有 $P_1=(1,-\frac{4}{3})$、$P_2=(-1,-\frac{2}{3})$。
继续求二阶偏导：

在驻点处 $x^2=1,u=-1$。令 $k={\mathrm{e}}^{x+y}>0$，则 $A=(1+2x)k$、$B=C=k$。
在 $P_1$ 处，$k={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}}$，故 $A=3k>0$、$AC-B^2=2k^2>0$，为极小值点，极小值 $f(P_1)=-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}}$。
在 $P_2$ 处，$k={\mathrm{e}}^{-\frac{5}{3}}$，故 $A=-k$、$AC-B^2=-2k^2<0$，为鞍点，不是极值点。函数在全平面光滑，以上已穷尽驻点，所以没有极大值。