1998 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

设

x \in (0, 1)

。

(1) 证明： $(1 + x) ln^{2} (1 + x) < x^{2}$ ；
(2) 证明： $\frac{1}{ln 2} - 1 < \frac{1}{ln ( 1 + x )} - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ 。

答案

证明见解析

证明见解析

令

ϕ (x) = \frac{x}{1 + x} - ln (1 + x) .

有 $ϕ (0) = 0$ 。

计算得

ϕ^{'} (x) = \frac{1 + \frac{x}{2} - 1 + x}{( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{( 1 + x - 1 ) ^{2}}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} > 0 (x > 0) .

故 $0 < x < 1$ 时 $ln (1 + x) < \frac{x}{1 + x}$ 。两边均为正数，平方后即得

(1 + x) ln^{2} (1 + x) < x^{2} .

令

g (x) = \frac{1}{ln ( 1 + x )} - \frac{1}{x} .

由第一问， $(1 + x) ln^{2} (1 + x) < x^{2}$ ，故

g^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{( 1 + x ) ln ^{2} ( 1 + x )} < 0.

所以 $g$ 在 $(0, 1)$ 上严格递减。又

x \to 0^{+} lim g (x) = \frac{1}{2}, g (1) = \frac{1}{ln 2} - 1.

端点均不属于区间，故

\frac{1}{ln 2} - 1 < g (x) < \frac{1}{2},

即为所证。