对 $x\ne 0$，先通分：

$$\frac{1+x}{1-{\mathrm{e}}^{-x}}-\frac{1}{x}=\frac{x(1+x)-(1-{\mathrm{e}}^{-x})}{x(1-{\mathrm{e}}^{-x})}.$$

在零点的去心邻域内，分母不为零。

当 $x\to 0$ 时，$1-{\mathrm{e}}^{-x}=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，因此分子为 $\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2)$，分母为 $x^2(1+o(1))$。故两侧极限一致，所求极限为

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2)}{x^2(1+o(1))}=\frac{3}{2}.$$