1996 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

假设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，已知

E (X^{k}) = a_{k}

（

k = 1, 2, 3, 4

）。令

Z_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

，完成下列各问：

答案

证明见解析

$Z_{n} \sim \cdot N (a_{2}, \frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n})$

令 $Y_{i} = X_{i}^{2}$ 。由于 $X_{i}$ 独立同分布， $Y_{i}$ 也独立同分布，且

E (Y_{i}) = a_{2}, Var (Y_{i}) = E (X_{i}^{4}) - [E (X_{i}^{2})]^{2} = a_{4} - a_{2}^{2} .

若 $a_{4} - a_{2}^{2} > 0$ ，由中心极限定理，

\frac{n ( Z _{n} - a _{2} )}{a _{4} - a _{2}^{2}} d N (0, 1) .

因而 $n$ 充分大时 $Z_{n}$ 近似正态。若 $a_{4} - a_{2}^{2} = 0$ ，则 $X^{2} = a_{2}$ 几乎处处成立， $Z_{n} \equiv a_{2}$ ，为相应的退化情形。

由第一问的标准化关系可知

Z_{n} \sim ˙ N (a_{2}, \frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n}) .

其中均值为 $a_{2}$ ，方差为 $\frac{( a _{4} - a _{2}^{2} )}{n}$ ；方差为零时按退化分布理解。