2008 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

计算

\iint_{D} max {x y, 1} d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2}

。

答案

$\frac{19}{4} + ln 2$

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在 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时有 $x y \leq 1$ （对所有 $0 \leq y \leq 2$ ），在 $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ 时分界线为 $y = \frac{1}{x}$ 。

于是

I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 d x + \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{x} + \int_{\frac{1}{x}}^{2} x y d y d x = 1 + \int_{\frac{1}{2}}^{2} (2 x + \frac{1}{2 x}) d x = \frac{19}{4} + ln 2.