1990 · 数学一 · 第 20 题 · 填空题

已知随机变量

X

的概率密度函数

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}

，

- \infty < x < + \infty

，则

X

的概率分布函数

F (x) =

。

答案

$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} e^{x}, 1 - \frac{1}{2} e^{- x}, x < 0, x \geq 0.$

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当 $x < 0$ 时，

F (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{2} e^{t} d t = \frac{1}{2} e^{x} .

当 $x \geq 0$ 时，可从右尾概率计算：

F (x) = 1 - \int_{x}^{+ \infty} \frac{1}{2} e^{- t} d t = 1 - \frac{1}{2} e^{- x} .

两段在 $x = 0$ 处都取 $\frac{1}{2}$ ，故分布函数连续，且极限分别为 $0$ 与 $1$ 。