1997 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，且

F (x) = \int_{0}^{x} (x - 2 t) f (t) d t

。

(1) 证明：若 $f (x)$ 为偶函数，则 $F (x)$ 也是偶函数；
(2) 证明：若 $f (x)$ 单调不增，则 $F (x)$ 单调不减。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

证明见解析

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第 1 问

若 $f$ 为偶函数，在 $F (- x)$ 中令 $t = - u$ ，则

F (- x) = \int_{0}^{- x} (- x - 2 t) f (t) d t = \int_{0}^{x} (x - 2 u) f (- u) d u .

由 $f (- u) = f (u)$ ，上式正是 $F (x)$ ，所以 $F$ 为偶函数。

第 2 问

由积分上限函数求导，

F^{'} (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t - x f (x) = \int_{0}^{x} [f (t) - f (x)] d t .

若 $x > 0$ ，则 $0 \leq t \leq x$ 时 $f (t) \geq f (x)$ ，故 $F^{'} (x) \geq 0$ 。若 $x < 0$ ，则 $x \leq t \leq 0$ 时 $f (t) \leq f (x)$ ，而积分方向相反，仍有 $F^{'} (x) \geq 0$ ；且 $F^{'} (0) = 0$ 。因此 $F$ 在全体实数上单调不减。