2016 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

设函数

f (x, y)

满足

\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x} = (2 x + 1) e^{2 x - y}, f (0, y) = y + 1

。

L_{t}

是从点

(0, 0)

到点

(1, t)

的光滑曲线，计算曲线积分

I (t) = \int_{L_{t}} \frac{\partial f ( x , y )}{\partial x} d x + \frac{\partial f ( x , y )}{\partial y} d y

，并求

I (t)

的最小值。

答案

$I (t) = e^{2 - t} + t$ ，最小值为 $3$ ，在 $t = 2$ 时取得。

查看解析展开

将 $y$ 看作常数，对 $f_{x} = (2 x + 1) e^{2 x - y}$ 关于 $x$ 积分。分部积分给出

\int (2 x + 1) e^{2 x} d x = \frac{( 2 x + 1 ) e ^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} d x = x e^{2 x} + C .

因此 $f (x, y) = x e^{2 x - y} + C (y)$ 。代入 $f (0, y) = y + 1$ ，得 $C (y) = y + 1$ ，所以 $f (x, y) = x e^{2 x - y} + y + 1$ 。
这个函数在全平面光滑，被积表达式就是全微分 $d f$ ，由曲线积分基本定理，

I (t) = f (1, t) - f (0, 0) = (e^{2 - t} + t + 1) - 1 = e^{2 - t} + t .

求导得 $I^{'} (t) = 1 - e^{2 - t}$ ，唯一驻点为 $t = 2$ 。当 $t < 2$ 时导数为负， $t > 2$ 时导数为正，故函数先递减后递增， $t = 2$ 是全局最小值点。于是 $min_{t \in R} I (t) = I (2) = 1 + 2 = 3$ 。