三个原函数分支都严格递增，其值域依次为 $(-\infty ,-1)$、$[-1,8]$、$(8,+\infty )$，合起来覆盖全体实数且互不重叠。

逐段解出原变量：第一段因原变量小于 $-1$ 取负平方根，第二段取实立方根，第三段解一次方程，得到

由第一问求得的反函数分段表达式，各分支内部连续。在 $x=-1$ 处，左极限与函数值都为 $-1$；在 $x=8$ 处，左右极限与函数值都为 $2$。

因此 $g(x)$ 在实数轴上连续，没有间断点。

由第一问求得的反函数分段表达式，在 $x=-1$ 处，左导数为 $\frac{1}{4}$，右导数为 $\frac{1}{3}$，故不可导。

在 $x=0$ 处，$\sqrt[3]{x}$ 的差商为 $x^{-\frac{2}{3}}$，不存在有限导数，故不可导。

在 $x=8$ 处，两侧导数均为 $\frac{1}{12}$；其余各段内部可导。所以不可导点恰为 $x=-1,0$。