先配含 $x_1$ 的项，得

令 $y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2,y_3=x_3$，变换矩阵为上三角矩阵，行列式为 $1$，故可逆。二次型化为 $y_1^2+2y_2^2$，其中正系数平方项有两个。由惯性定理，正惯性指数为 $2$。

二次型矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$。第一、三行相同，而前两行线性无关，故 $r(A)=2$，有一个零特征值。设另外两个为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，则

其中乘积用三个二阶主子式之和求得。因此两者是 $t^2-5t+4=0$ 的根，即 $1,4$。全部特征值为 $1,4,0$，正特征值有两个，故正惯性指数为 $2$。