（1）第一个被积函数对所有实数$t$均有意义；第二个积分的两端为$1$和$x^2\ge 0$，其间$t\ge 0$，故根式也有意义。因此$f$在实数轴上连续可导。
（2）第一项下限为$x$，求导带负号；第二项上限为$x^2$，求导需乘$2x$，所以

由于根式恒正，$f$在$(-\infty ,\frac{1}{2}]$上严格递减，在$[\frac{1}{2},+\infty )$上严格递增，所以两个单调段各至多有一个零点。
（3）当$x=1$时，两积分上下限相同，故$f(1)=0$。又$f$在$[\frac{1}{2},1]$严格递增，故$f(\frac{1}{2})<f(1)=0$。当$x=-1$时，第二个积分为零，且

由连续性和零点定理，$(-1,\frac{1}{2})$内至少有一个零点；由递减段的严格单调性，这一段恰有一个零点。递增段已有零点$x=1$，且严格单调保证其唯一。故$f$总共恰有$2$个零点。