2020 · 数学一 · 第 7 题 · 选择题

设

A, B, C

为三个随机事件，且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}

，

P (A \cap B) = 0

，

P (A \cap C) = P (B \cap C) = \frac{1}{12}

，则

A, B, C

中恰有一个事件发生的概率为（　　）。

A
$\frac{3}{4}$
B
$\frac{2}{3}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{5}{12}$
正确答案

答案

查看解析展开

因为 $A B C \subseteq A B$ ，且 $P (A B) = 0$ ，所以 $0 \leq P (A B C) \leq P (A B) = 0$ ，得 $P (A B C) = 0$ 。
恰有一个事件发生，可分为“仅 $A$ ”“仅 $B$ ”“仅 $C$ ”三个互斥事件。其中

P (A B C) = P (A) - P (A (B \cup C)) = P (A) - P (A B) - P (A C) + P (A B C) .

另外两项同理。相加得到

P (恰有一个发生) = P (A) + P (B) + P (C) - 2 [P (A B) + P (A C) + P (B C)] + 3 P (A B C) = \frac{3}{4} - 2 (0 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}) = \frac{5}{12} .

故选 D。每个两两交事件在前三项中计数两次，要将其从“恰有一个”中完全排除，必须减去两次。

直接计算三个互斥小块。由 $P (A B) = P (A B C) = 0$ ，仅 $A$ 发生的概率为 $\frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$ ；仅 $B$ 发生的概率同为 $\frac{1}{6}$ ；仅 $C$ 发生的概率为 $\frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$ 。三者相加得 $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$ ，选 D。