1992 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

设函数

y = y (x)

由方程

y - x e^{y} = 1

所确定，求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} ∣_{x = 0}

的值。

答案

$2 e^{2}$

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由 $y - x e^{y} = 1$ ，代入 $x = 0$ 得 $y (0) = 1$ 。一次求导得

y^{'} - e^{y} - x e^{y} y^{'} = 0,

因而 $y^{'} (0) = e$ 。

再次求导得

y^{''} - 2 e^{y} y^{'} - x e^{y} ((y^{'})^{2} + y^{''}) = 0.

代入 $x = 0$ 、 $y (0) = 1$ 、 $y^{'} (0) = e$ ，得到 $y^{''} (0) = 2 e^{2}$ 。