1999 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

计算二重积分

\iint_{D} y d x d y

，其中

D

是由直线

x = - 2, y = 0, y = 2

以及曲线

x = - 2 y - y^{2}

所围成的平面区域。

答案

$4 - \frac{π}{2}$

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曲线可写为 $x = - 1 - (y - 1)^{2}$ ，因此区域为 $0 \leq y \leq 2$ 、 $- 2 \leq x \leq - 2 y - y^{2}$ 。

于是

\iint_{D} y d x d y = \int_{0}^{2} y (2 - 2 y - y^{2}) d y = 4 - \int_{0}^{2} y 1 - (y - 1)^{2} d y .

令 $t = y - 1$ 。奇函数部分在 $[- 1, 1]$ 上积分为零，故后一积分等于 $\int_{- 1}^{1} 1 - t^{2} d t = \frac{π}{2}$ 。所求为 $4 - \frac{π}{2}$ 。