对任意 $t>1$，曲边梯形的面积与旋转体体积分别为

题设 $V(t)=\pi tA(t)$，故

对上式求导，记 $F(t)={\int }_1^{t}f(x)\mathrm{d}x$，得到

令 $t\to 1^{+}$，由 $f(1)>0$ 得 $f(1{)}^2=f(1)$，所以 $f(1)=1$。

再对 $F(t)=f^2(t)-tf(t)$ 求导，得到

令 $u=\sqrt{f(t)}>0$。又因 $F(t)>0$ 且 $f(t)>0$，有 $f(t)>t$，从而 $f^{\prime }(t)>0$，可将 $t$ 视为 $u$ 的函数，则

积分得

由 $t=1,u=1$ 得 $C=\frac{1}{3}$，故

把 $t$ 换回曲线变量 $x$，并取经过 $(1,1)$ 的连续正支，曲线方程为

对 $x>1$ 该支满足 $y>x$，符合由 $F(t)>0$ 导出的分支条件。