2019 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

设向量组

α_{1} = 121, α_{2} = 132, α_{3} = 1 a 3

为

R^{3}

的一组基，

β = 111

在这组基下的坐标为

b c 1

。

(1) 求 $a, b, c$ 之值；
(2) 证明 $α_{2}, α_{3}, β$ 也为 $R^{3}$ 的一组基，并求 $α_{2}, α_{3}, β$ 到 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 的过渡矩阵。

答案

第 1 问

$a = 3, b = 2, c = - 2$ 。

第 2 问

$α_{2}, α_{3}, β$ 构成一组基，所求过渡矩阵为 $P = 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{2} 100010$ 。

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第 1 问

由坐标的定义， $β = b α_{1} + c α_{2} + α_{3}$ 。逐分量比较得

⎩ ⎨ ⎧ b + c = 0, 2 b + 3 c + a = 1, b + 2 c = - 2.

由第一、三式得 $c = - 2, b = 2$ ，代入第二式得 $a = 3$ 。此时 $∣ α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣ = 1 \neq = 0$ ，与原题的基条件相符。

第 2 问

代入 $a = 3$ ，得

∣ α_{2}, α_{3}, β ∣ = 132133111 = 2 \neq = 0,

所以 $α_{2}, α_{3}, β$ 也构成 $R^{3}$ 的一组基。由上一问 $β = 2 α_{1} - 2 α_{2} + α_{3}$ ，解出 $α_{1} = α_{2} - \frac{1}{2} α_{3} + \frac{1}{2} β$ 。
所求过渡矩阵 $P$ 满足 $(α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (α_{2}, α_{3}, β) P$ ，故各列分别取 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 在基 $α_{2}, α_{3}, β$ 下的坐标，得到

P = 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{2} 100010 .