1994 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + a_{1} x_{2} + a_{1}^{2} x_{3} = a_{1}^{3} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{2}^{2} x_{3} = a_{2}^{3} x_{1} + a_{3} x_{2} + a_{3}^{2} x_{3} = a_{3}^{3} x_{1} + a_{4} x_{2} + a_{4}^{2} x_{3} = a_{4}^{3}

。

(1) 证明：若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 两两不相等，则此线性方程组无解；
(2) 设 $a_{1} = a_{3} = k$ ， $a_{2} = a_{4} = - k$ （ $k \neq = 0$ ），且已知 $β_{1}$ 、 $β_{2}$ 是该方程组的两个解，其中 $β_{1} = - 1 11, β_{2} = 11 - 1$ ，写出此方程组的通解。

答案

证明见解析

$x_{1} x_{2} x_{3} = - 1 11 + t 20 - 2, t \in R$

若方程组有解 $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ ，令

p (t) = x_{1} + x_{2} t + x_{3} t^{2} - t^{3} .

四个方程分别说明 $p (a_{i}) = 0$ （ $i = 1, 2, 3, 4$ ）。

多项式 $p$ 的次数为 3，且三次项系数为 $- 1$ ，所以它不是零多项式，不可能有四个互不相同的根。若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 两两不等，便产生矛盾，因此方程组无解。

当参数只取 $k$ 与 $- k$ 且 $k \neq = 0$ 时，系数矩阵只有两种不同的行 $(1, k, k^{2})$ 与 $(1, - k, k^{2})$ ，这两行线性无关，故系数矩阵的秩为 2，齐次解空间维数为 1。

两个已知解之差

β_{2} - β_{1} = (2, 0, - 2)^{T}

是对应齐次方程组的非零解，因此张成整个齐次解空间。故原方程组的通解为

(x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} = (- 1, 1, 1)^{T} + t (2, 0, - 2)^{T}, t \in R .