2002 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

设有一小山，取它的底面所在的平面为

x oy

坐标面，底面区域为

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} - x y \leq 75}

，高度函数为

h (x, y) = 75 - x^{2} - y^{2} + x y

。设

M (x_{0}, y_{0})

为区域

D

上一点。

(1) 问 $h (x, y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为 $g (x_{0}, y_{0})$ ，写出 $g (x_{0}, y_{0})$ 的表达式；
(2) 在边界 $x^{2} + y^{2} - x y = 75$ 上确定使 $g (x, y)$ 达到最大值的攀登起点。

答案

第 1 问

梯度非零时取梯度方向 $\nabla h (x_{0}, y_{0}) = (y_{0} - 2 x_{0}, x_{0} - 2 y_{0})$ ，且 $g (x_{0}, y_{0}) = (y_{0} - 2 x_{0})^{2} + (x_{0} - 2 y_{0})^{2}$ ；在原点梯度为零，任意方向均达到最大值 0

第 2 问

攀登起点为 $(5, - 5)$ 或 $(- 5, 5)$

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第 1 问

有 $\nabla h (x, y) = (y - 2 x, x - 2 y)$ 。对单位方向向量 $u$ ，方向导数为 $D_{u} h = \nabla h \cdot u \leq ∥ \nabla h ∥$ 。

当梯度不为零时，等号在 $u = \frac{\nabla h}{∥ \nabla h ∥}$ 时取得，故最大值 $g (x_{0}, y_{0}) = (y_{0} - 2 x_{0})^{2} + (x_{0} - 2 y_{0})^{2}$ 。梯度为零只发生在 $(0, 0)$ ，此时所有方向导数均为零。

第 2 问

由第一问的最大方向导数得 $g^{2} = 5 (x^{2} + y^{2}) - 8 x y$ 。令 $u = \frac{x + y}{2}, v = \frac{x - y}{2}$ ，则边界条件化为 $u^{2} + 3 v^{2} = 150$ ，而 $g^{2} = u^{2} + 9 v^{2}$ 。

在约束下， $g^{2} = 150 + 6 v^{2}$ ，其最大值在 $u = 0, v^{2} = 50$ 时取得。因此 $x + y = 0$ ，再由边界方程得 $3 x^{2} = 75$ ，所以起点为 $(5, - 5)$ 或 $(- 5, 5)$ （此时 $g_{m a x} = 152$ ）。