齐次方程的特征方程为 $r^2+2r+1=(r+1{)}^2=0$，故

因右端为 $x{\mathrm{e}}^x$ 且 $1$ 不是特征根，设 $y_p={\mathrm{e}}^x(Ax+B)$。代入 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=x{\mathrm{e}}^x$，比较系数得到 $A=\frac{1}{4}$，$B=-\frac{1}{4}$，所以

因此通解为