1998 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

设

y = y (x)

是一向上凸的连续曲线，其上任意一点

(x, y)

处的曲率为

\frac{1}{1 + y ^{' 2}}

，且此曲线上点

(0, 1)

处的切线方程为

y = x + 1

。

答案

$y = 1 + ln (cos x + sin x)$ ，包含已知点的最大定义区间为 $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

在 $x = \frac{π}{4}$ 处取得极大值 $1 + ln 2$ ；无极小值。

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平面曲线的曲率为 $κ = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{'2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ 。曲线向上凸，故 $y^{''} < 0$ 。由题设得到

y^{''} = - (1 + y^{'2}) .

令 $p = y^{'}$ 。由切线斜率知 $p (0) = 1$ ，而 $p^{'} = - (1 + p^{2})$ ，所以

arctan p = - x + \frac{π}{4}, p = tan (\frac{π}{4} - x) .

积分并使用 $y (0) = 1$ ，得到

y = 1 + ln (2 cos (\frac{π}{4} - x)) = 1 + ln (cos x + sin x) .

包含 $x = 0$ 的最大实定义区间由 $cos x + sin x > 0$ 确定，为 $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ 。

由第一问知， $y^{'} = tan (\frac{π}{4} - x)$ ，在最大定义区间内唯一驻点为 $x = \frac{π}{4}$ 。

又 $y^{''} = - sec^{2} (\frac{π}{4} - x) < 0$ ，故该点为严格极大值点，

y (\frac{π}{4}) = 1 + ln 2 .

函数在区间两端均趋于 $- \infty$ ，因此没有极小值。