特征方程为 $r^2+2r+3=0$，判别式 $\Delta =4-12=-8$，因此特征根为

共轭复根的实部为 $-1$，虚部大小为 $\sqrt{2}$，对应两个实值解 ${\mathrm{e}}^{-x}\cos (\sqrt{2}x)$ 与 ${\mathrm{e}}^{-x}\sin (\sqrt{2}x)$，故通解为

其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。

核对余弦项。令 $y={\mathrm{e}}^{-x}\cos (\sqrt{2}x)$，则

代入后余弦项系数为 $-1-2+3=0$，正弦项系数为 $2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0$，所以满足方程，正弦项同理。两解在 $x=0$ 处的初值向量分别为 $(1,-1)$、$(0,\sqrt{2})$，线性无关，故构成基本解组。