（1）收敛域与拆系数。令 $a_n=\frac{(4n^2+4n+3)}{(2n+1)}$，有

从而 $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to 1$。相邻级数项绝对值比的极限为 $x^2$，所以半径为 $1$。在 $x=\pm 1$ 处，通项为 $a_n\to +\infty$，两端发散；收敛域为 $(-1,1)$。
（2）在 $|x|<1$ 内，拆成 $S=S_1+2S_2$，其中 $S_1=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^{2n}$、$S_2=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n+1)}$，两级数在该区间都绝对收敛。由等比级数及逐项求导，

（3）求积分型部分。令 $h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)}$，则 $h^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-x^2)}$、$h(0)=0$。于是

当 $0<|x|<1$ 时，$S_2(x)=\frac{h(x)}{x}$，合并得

（4）补上 $x=0$。原级数只剩 $n=0$ 项，故 $S(0)=3$。上式两部分在 $x\to 0$ 时分别趋于 $1$ 和 $2$，与该值一致。