（1）底数趋于 $1$，在零点附近为正。记 $\alpha =\cos 2x+2x\sin x-1$，原式等于 $\exp [\frac{\ln (1+\alpha )}{x^4}]$。
（2）分别展开到四阶：

相加再减去 $1$，二阶项消失，四阶项保留，得 $\alpha =\frac{x^4}{3}+o(x^4)$。
（3）于是 $\ln (1+\alpha )\sim \alpha$，所以 $\frac{\ln (1+\alpha )}{x^4}\to \frac{1}{3}$。由指数函数连续性，原极限为 $e^{\frac{1}{3}}$。余弦四阶项中的 $(2x{)}^4$ 和 $2x\sin x$ 的四阶项都必须计算；两者仅二阶项相消，并非四阶项也相消。