第一、三式相加与第二、四式相加的左端都等于 $x_1+x_2+x_3+x_4$，故有解时必须满足

即 $a_1+a_2+a_3+a_4=0$。

反之，任取 $x_1$，由前三式依次确定 $x_2,x_3,x_4$；所得第四式恰因上述条件成立。因此该条件也充分。