（1）函数在实数轴上有定义。被积函数含参数$x$，先拆开：

应用乘积法则、变限积分求导和链式法则，有

（2）记$G(x)={\int }_1^{x^2}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$。由于$e^{-t^2}>0$，积分的符号由上下限决定：$|x|>1$时$G(x)>0$，$|x|<1$时$G(x)<0$，$x=\pm 1$时$G(x)=0$。结合因子$2x$，可知$f^{\prime }$在$(-\infty ,-1),(-1,0),(0,1),(1,+\infty )$上依次为负、正、负、正，且驻点为$-1,0,1$。
所以$f$在$(-\infty ,-1]$、$[0,1]$上单调减少，在$[-1,0]$、$[1,+\infty )$上单调增加。$x=\pm 1$为极小值点，$x=0$为极大值点。
（3）上下限相同时积分为零，故$f(-1)=f(1)=0$。在$x=0$处，

因此极小值为$0$，极大值为$\frac{(1-e^{-1})}{2}$。还可由原式仅含$x^2$看出$f$为偶函数，与两个极小值相等相符。