2006 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0, - 1 < x < 0, 0 \leq x < 2, 其他 .

，令

Y = X^{2}

，

F (x, y)

为二维随机变量

(X, Y)

的分布函数。求：

答案

$f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{8 y}, \frac{1}{8 y}, 0, 0 < y < 1, 1 \leq y < 4, 其他 .$

$F (- \frac{1}{2}, 4) = \frac{1}{4}$

由 $Y = X^{2}$ 知 $Y \geq 0$ 。当 $y > 0$ 时，方程 $x^{2} = y$ 的逆像为 $x = - y$ 和 $x = y$ ，并且两条分支都满足 $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 y}$ 。

当 $0 < y < 1$ 时， $- y \in (- 1, 0)$ 与 $y \in (0, 2)$ 都在 $X$ 的支持内；当 $1 \leq y < 4$ 时，只有 $y \in (0, 2)$ 在支持内。

因此，在 $y > 0$ 时按各逆像分支相加，

f_{Y} (y) = \sum f_{X} (x_{i}) \frac{d x _{i}}{d y} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 y} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 y}, \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 y}, 0, 0 < y < 1, 1 \leq y < 4, y \geq 4.

在 $y < 0$ 时没有逆像； $y = 0$ 处的密度值可任意指定，取 $0$ 。化简得所求密度。

由 $Y = X^{2}$ ，

F (- \frac{1}{2}, 4) = P (X \leq - \frac{1}{2}, X^{2} \leq 4) .

在 $X$ 的支持 $(- 1, 2)$ 上恒有 $X^{2} < 4$ ，所以事件 $X^{2} \leq 4$ 自动成立，从而

F (- \frac{1}{2}, 4) = P (X \leq - \frac{1}{2}) = \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2} d x = \frac{1}{4} .